鲁棒矩阵补全技术旨在从部分观测到的数据中恢复完整信息，在推荐系统、图像修复、快照压缩成像等领域具有广泛应用。现有理论研究大多假设观测数据是随机采样的，这一假设虽然便于数学分析，但在实际硬件系统中却难以实现。由于硬件资源的限制，许多成像系统（如快照压缩成像）必须采用固定的确定性采样模式。因此，研究确定性采样下的矩阵补全问题具有重要的现实意义。此时，现有的恢复性理论不再适用，亟需新的理论框架与算法支持。

针对这一挑战，本文提出了一种基于凸优化的鲁棒矩阵补全新方法，首次在定采样模式下建立了精确恢复的理论保证。研究团队提出了“限近等距性质”（RAIP）这一关键概念，RAIP包含算子限近等距性(ORAIP)及无穷限近等距性(IRAIP)两个条件，用以刻画确定性采样模式与待恢复矩阵的低秩结构之间的匹配关系。其与已有的部分恢复性条件——如同构性（isomerism）、良态性（well-conditionedness）以及 非相干采样（Incoherent Sampling）——的充分必要关系关系如图1所示。

图1. RAIP与其他恢复性条件的充分必要关系

基于RAIP，团队通过改进的golfing scheme，证明了在渐近、高概率下，低秩矩阵与稀疏噪声可以通过核范数与ℓ1范数的凸优化模型唯一地恢复出来。这一成果为确定性采样下的鲁棒矩阵补全提供了首个精确恢复理论，填补了该领域的理论空白。

表1. 当RAIP被满足时，精确恢复的成功概率渐近地趋近于1

表2. 当RAIP不被满足时，精确恢复的成功概率始终为0

进一步，研究团队将模型推广至更一般的场景：当采样模式不满足RAIP时，传统核范数模型失效。为此，引入了卷积核范数，并提出了一种基于交替方向乘子法的高效算法，同时证明了该算法的KKT收敛性。该算法能够处理更复杂的采样结构，在非理想条件下依然保持良好的恢复性能。

图2. 当传统核范数优化失效时，基于卷积核范数的模型实现了弥补

该工作由北京理工大学信息与电子学院博士研究生王寅涧、教授李伟，密西西比州立大学教授James E. Fowler以及意大利国家研究委员会环境分析方法论研究所研究员Gemine Vivone共同合作完成。论文成果《Robust Matrix Completion with Deterministic Sampling via Convex Optimization》发表于计算机视觉与模式识别领域的顶级期刊——IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence（影响因子18.6）。

论文链接：https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/11367486

代码链接：https://github.com/WongYinJ/RMCDS